Grade 10 – Math – Real Numbers- Important Questions and Answers

    Euclid’s division Lemma

    प्रश्न 1. यदि 420 और 130 का म.स. 3x + 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

    हल. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,

    \[\begin{array}{l}\begin{aligned}420 &=130 \times 3+30 \\130 &=30 \times 4+10 \\30 &=10 \times 3+0\end{aligned} \end{array}\]
    $\therefore $ म.स. (420,130)=10
    अब, \[\begin{array}3 x+1=10 \\\Rightarrow 3 x=9 \\\Rightarrow x=3\end{array}\]

    प्रश्न 2. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके 4056 और 12580 का म.स. ज्ञात कीजिए।

    हल.

    \[\begin{array}{l}12580= 4056 \times 3+412 \\4056= 412 \times 9+348 \\412= 348 \times 1+64 \\348 =64 \times 5+28 \\64 =28 \times 2+8 \\28 =8 \times 3+4 \\8 =4 \times 2+0 \end{array}\]
    $\therefore \quad $ म.स. $(4056,12580)=4$

    प्रश्न 3: यदि 410 और 1034 का म.स. $1034 m-410 \times 58$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

    हल: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिश्म से ,
    \[
    \begin{array}{l}
    1034 =410 \times 2+214 \\
    410 =214 \times 1+196 \\
    214 =196 \times 1+18 \\
    196 =18 \times 10+16 \\
    18 =16 \times 1+2 \\
    16 =2 \times 8+0
    \end{array}
    \]
    $\therefore \quad$ म.स. $(410,1034)=2$
    अब , $\Rightarrow \quad 1034 m-410 \times 58=2$
    $\Rightarrow \quad 1034 m-23780=2$
    $\Rightarrow \quad 1034 m=23782$
    $\Rightarrow \quad m=\frac{23782}{1034}$
    $\Rightarrow \quad m=23$

    प्रश्न 4 :वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जो 627,3128 और 15629 को विभाजित करने पर क्रमशः शेषफल 2,3 और 4 छोड़ती है।

    हल.
    \[
    \begin{array}{l}
    627-2=625\\
    3128-3=3125 \\
    15629-4=15625
    \end{array}
    \]
    यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
    $3125=625 \times 5+0$
    $\therefore \quad $ म.स. $(3125,625)=625 $
    पुन: $ 15625=625 \times 25+0$
    $\therefore \quad$ म.स. $(15625,625)=625$
    अत: म.स. $(625,3125,15625)=625$ इसलिए अभीष्ट संख्या 625 है।

    प्रश्न 5. एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमश : 9 मी, 7 मी 50 सेमी और 5 मी 25 सेमी हैं। उस सबसे लम्बी
    छड़ की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो कमरे की तीनों विमाओं को ठीक-ठीक माप सके।

    हल.
    9 मी =900 सेमी
    7 मी 50 सेमी =750 सेमी
    5 मी 25 सेमी =525 सेमी
    यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से,
    $900=750 \times 1+150$
    $750=150 \times 5+0$
    $\therefore \quad$ म.स. $(900,750)=150$

    पुन: 525 = 150 × 3 + 75
    150 = 75 × 2 + 0
    म.स. (525, 150) = 75
    म.स. (900,750,525) = 75
    अत: छड़ की अभीष्ट लम्बाई 75 सेमी है।

    प्रश्न 6. दर्शाइए कि किसी धनात्क पूर्णांक $n$ के लिए संख्या $n^{3}-n$ , 6 से विभाज्य है।

    हल . माना $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है। तब $n=2 q$ या $2 q+1$ जहाँ $q$ कोई पूर्णाक है।
    स्थिति 1: जब $n=2 q,$ तब
    \[
    \begin{array}{l}
    n^{3}-n \\=(2 q)^{3}-2 q \\
    =2 q \left\{(2 q)^{2}-1\right\} \\
    =2 q(2 q-1)(2 q+1) \\
    =(2 q-1)(2 q)(2 q+1)
    \end{array}
    \]
    चूंकि $2 q-1,2 q$ तथा $2 q+1$ तीन क्रमागत पूर्णांक हैं और तीन क्रमागत पूर्णांको का गुणनफल 6 से विभाज्य होता है , इसलिए जब $n=2 q,$ तब संख्या $n^{3}-n, 6$ से विभाज्य है।
    स्थिति 2: जब $n=2 q+1,$ तब
    \[
    \begin{array}{l}
    n^{3}-n \\=(2 q+1)^{3}-(2 q+1) \\
    =(2 q+1) \left\{(2 q+1)^2-1\right\} \\
    =(2 q+1)(2 q+1-1)(2 q+1+1) \\
    =(2 q+1)(2 q)(2 q+2) \\
    =(2 q)(2 q+1)(2 q+2)
    \end{array}
    \]
    चूंकि $2 q, 2 q+1$ तथा $2 q+2$ तीन क्रमागत पूर्णांक है और तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 6 से विभाज्य होता है , इसलिए जब गुणनफल 6 से विभाज्य होता है, इसलिए जब $n$ $=2 q+1,$ तब संख्या $n^{3}-n, 6$ से विभाज्य है। अतः किसी धनात्मक पूर्णाक $n$ के लिए, संख्या $n^{3}-n, 6$ से विभाज्य है।

    The Fundamental Theorem of Arithmetic

    प्रश्न 1 : 5005 के अभाज्य गुणनखंड में $\ldots \ldots \ldots \ldots . .$ अभाज्य गुणनखंड है ।
    उत्तर: चार

    प्रश्न 2: यदि $p_{1}$ और $p_{2}$ दो विषम अभाज्य संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $p_{1}>p_{2},$ तो $p_{1}^{2}-p_{2}^{2}$ एक $\ldots \ldots \ldots \ldots . .$ संख्या होगी।
    उत्तर: सम

    प्रश्न 3: यदि $a=2^{2} \times 3, b=2 \times 3, c=3^{n} \times 5$ तथा ल.स. $(a, b, c)$ $=2^{2} \times 3^{2} \times 5,$ तब $n$ का मान $\ldots \ldots \ldots .$ होगा।
    उत्तर: दो

    प्रश्न 4: दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 2 से विभाज्य होता है। सत्य / असत्य ?
    उत्तर: सत्य

    प्रश्न 5: तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल 6 से विभाज्य होता है। सत्य / असत्य ?
    उत्तर: सत्य

    प्रश्न 6: $3 \times 5 \times 7 \times 7$ एक अभाज्य संख्या है। सत्य / असत्य ?
    उत्तर: असत्य

    प्रश्न 7 :$a$ और $b$ का म.स. 15 है और इन संख्याओं का गुणनफल 1800 है। उनका ल.स. ज्ञात कीजिए।
    उत्तर:
    \[
    \begin{aligned}
    \text { ल.स. } &=\frac{a \times b}{\text { म.स. }(a, b)} =\frac{1800}{15}=120
    \end{aligned}
    \]

    प्रश्न 8: 46 और 510 का ल.स. ज्ञात कीजिए। ल.स. का प्रयोग करके इनका म.स. भी ज्ञात कीजिए।
    उत्तर: अभाज्य गुणनखंडन द्वारा
    \[
    \begin{aligned}
    46 &=2 \times 23 \\
    510 &=2 \times 3 \times 5 \times 17 \\
    \therefore \quad \text { ल.स. }(46,510) &=2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 =11730 \\
    \text { म.स. } &=\frac{46 \times 510}{11730}=\frac{46 \times 51}{1173} =\frac{46 \times 3}{69}=\frac{46}{23}=2
    \end{aligned}
    \]

    प्रश्न 9 : निम्न गुणनखंड वृक्ष को पूरा कीजिए और भाज्य संख्या $x$ को ज्ञात कीजिए।


    उत्तर:
    \[
    \begin{array}{l}
    \begin{aligned}
    3 \times z=111\\
    \Rightarrow z=\frac{111}{3}=37 & \ldots(i) \\
    y =3 \times 555=1665 & \ldots(ii)
    \end{aligned} \\
    x=2 \times y=2 \times 1665=3330 & \ldots(iii)
    \end{array}
    \]

    प्रश्न 10: दशांइए कि संख्या $8^{n}$ किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती है।

    उत्तर: यदि किसी प्राकृत संख्या $n$ के लिए, संख्या $8^{n}, 0$ पर समाप्त होगी तो वह 5 से विभाज्य होगी, अथात्, $8^{n}$ के गुणनखंड में अभाज्य संख्या 5 अवश्य आनी चाहिए।
    यह संभव नहीं है क्योंकि $8^{n}=(2 \times 2 \times 2)^{n}=\left(2^{3}\right)^{n}=(2)^{3 n} 1$ इसी कारण $8^{n}$ के गुणनखंड से केंवल अभाज्य संख्या 2 ही आ सकती है।
    अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता हमें यह निश्चित कराती है कि $8^{n}$ के गुणनखंडन में 2 के अतिरिक्त और कोई अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
    इसलिए किसी भी प्राकृत संख्या $n$ के लिए संख्या $8^{n}$ अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती है।

    Revisiting irrational numbers

    प्रश्न 1 : सिद्र कीजिए $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

    उत्तर: आइए इसके विपरीत हम यह जान लें कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
    तब हम ऐसे दो सह-अभाज्य पूर्णाक $a$ और $b(\neq 0)$ प्राप्त कर सकते हैं कि
    \[
    \begin{aligned}
    \sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac{a}{b} \\
    \Rightarrow \frac{a}{b}-\sqrt{3}=\sqrt{2}
    \end{aligned}
    \]
    दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
    \[
    \begin{aligned}
    \left(\frac{a}{b}-\sqrt{3}\right)^{2}=(\sqrt{2})^{2}\\
    \Rightarrow \quad \frac{a^{2}}{b^{2}}+3-\frac{2 a}{b} \sqrt{3}=2\\
    \Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}-\frac{2 a}{b} \sqrt{3}=-1\\
    \Rightarrow \quad \frac{a^{2}}{b^{2}}+1=\frac{2 a}{b} \sqrt{3}\\
    \Rightarrow \quad \frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}=\frac{2 a \sqrt{3}}{b}\\
    \Rightarrow \quad \frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}=\sqrt{3}\\
    \end{aligned}
    \]
    चूंकि $2, a$ और $b$ पूर्णांक हैं, इसलिए $\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}$ एक परिमेय संख्या होगी। इसलिए $\sqrt{3}$ भी एक परिमेय संख्या होगी। परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता हैं कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
    अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

    प्रश्न 2: सिद्ध कीजिए कि $6+\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

    उत्तर: आइए इसके विपरीत हम यह जान लें कि $6+\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है।
    तब हम ऐसे दो सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b(\neq 0)$ प्राप्त कर सकते हैं।
    \[
    6+\sqrt{5}=\frac{a}{b}\\
    \Rightarrow \quad \sqrt{5}=\frac{a}{b}-6
    \]
    चूकि $6, a$ और $b$ पूर्णांक है, इसलिए $\frac{a}{b}-6$ एक परिमेय संख्या होगी। इसलिए $\sqrt{5}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।
    परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $6+\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

    प्रश्न 3. एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल एक ………. संख्या होती है।

    उत्तर: अपरिमेय

    प्रश्न 4: एक शून्येतर परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का भागफल एक $\ldots \ldots . .$ संख्या होती है।

    उत्तर: अपरिमेय

    प्रश्न 5 : सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

    उत्तर: आइए इसके विपरीत हम यह जान लें कि $\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है।
    तब हम ऐसे दो सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b(\neq 0)$ प्राप्त कर सकते हैं कि
    \[
    \sqrt{7}=\frac{a}{b}\\
    \Rightarrow \quad \sqrt{7} b=a
    \]
    दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
    \[
    7 b^{2}=a^{2}\hspace{5cm} \ldots (i)
    \]
    अतः $7, a^{2}$ को विभाजित करता है।
    $\Rightarrow \quad 7, a$ को भी विभाजित करता है।
    मान लीजिए $p$ एक अभाज्य संख्या है। यदि $p, a^{2}$ को विभाजित करता है, तो $p, a$ को भी विभाजित करेगी, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णाक है।
    अत : हम $a=7 c$ लिख सकते हैं, जहाँ $c$ कोई पूर्णाक है। $a$ मान (i) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं
    \[
    7 b^{2}=(7 c)^{2}\\
    \Rightarrow \quad 7 b^{2}=49 c^{2}\\
    \Rightarrow \quad b^{2}=7 c^{2}
    \]
    अतः : $7, b^{2}$ को विभाजित करता है।
    $\Rightarrow 7, b$ को भी विभाजित करता है।
    मान कीजिए $p$ एक अभाज्य संख्या है। यदि $p, a^{2}$ को विभाजित करता है, तो $p, a$ को भी विभाजित करेगी, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
    अतः $a$ और $b$ में कम-से-कम एक अभयनिष्ठ गुणनखंड 7 है।
    परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि $a$ और $b$ में, 1 के अतिरिक्त, कोई अभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
    यह विरोधाभास हमें इस कारण प्राप्त हुआ है, क्योंकि हमने एक त्रुटिपूर्ण कल्पना कर ली है कि $\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है।
    अतः एक निष्कर्ष निकालते हैं कि $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

    प्रश्न 6: मान लीजिए $p$ एक अभाज्य संख्या है। यदि $p, a^{2}$ को विभाजित करती है, तो $p, a$ को भी विभाजित करेगी, जहाँ $a$ एक धनात्मक पूर्णांक है। सत्य / असत्य ?
    उत्तर: सत्य

    प्रश्न 7: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल सदैव एक अशून्य संख्या होती है। सत्य / असत्य ?
    उत्तर: सत्य

    प्रश्न 8: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणफल सद्वव एक अपरिमेय संख्या होता है। सत्य / असत्य ?
    उत्तर: असत्य

    Revisiting rational numbers

    प्रश्न 1. $x$ का मान क्या है जिसके लिए $(4 x)^{n}, 0$ पर समाप्त होता है।, जहाँ $n$ कोई प्राकृत संख्या है और $x$ एक अशून्य अंक है।

    उत्तर: स्पष्त: $x=5$ जिससे कि $(4 x)^{n}=(4 \times 5)^{n}=20^{n},$ प्रत्येक प्राकृत संख्या $n$ के लिए 0 पर समाप्त होती है।

    प्रश्न 2: यदि $n=2^{3} \times 3^{4} \times 11 \times(15)^{6},$ तो प्राकृत संख्या $n$ में क्रमागत यूम्मों की संख्या ज्ञात कीजिए।

    उत्तर:
    \[
    \begin{array}{l}
    n=2^{3} \times 3^{4} \times 11 \times(15)^{6}\\
    =2^{3} \times 3^{4} \times 11 \times(3 \times 5)^{6} \\
    =2^{3} \times 3^{4} \times 11 \times 3^{6} \times 5^{6} \\
    =2^{3} \times 5^{6} \times 3^{4} \times 3^{6} \times 11 \\
    =2^{3} \times 5^{3} \times 5^{3} \times 3^{4+6} \times 11 \\
    =(2 \times 5)^{3} \times 5^{3} \times 3^{10} \times 11 \\
    =(10)^{3} \times 5^{3} \times 3^{10} \times 11
    \end{array}
    \]
    अत : क्रमागत यूग्मों की संख्या = 3

    प्रश्न 3: $\frac{61}{2^{2} \times 5^{3}}$ का दशमलव प्रसार कितने दशमलव स्थानों के बाद सांत होगा?
    उत्तर:
    \[
    \begin{aligned}
    \frac{61}{2^{2} \times 5^{3}}=\frac{61 \times 2}{2^{2} \times 5^{3} \times 2}=\frac{122}{2^{3} \times 5^{3}}\\
    =\frac{122}{(2 \times 5)^{3}} \quad \frac{122}{(10)^{3}} \\
    =\frac{122}{1000}=0.122
    \end{aligned}
    \]
    अत : प्रश्न संख्या का दशमलव प्रसार तीन दशमलव स्थानों के बाद सांत होगा।

    प्रश्न 4: $\sqrt{2}$ और $\sqrt{3}$ के बीच दो अपरिमेय संख्याएँ लिखिए।

    उत्तर: $ \sqrt{2} $ और $ \sqrt{3} $ के बीच दो अपरिमेय संख्याएँ $1.501001000100001 \ldots . .$ तथा $1.60100100010000 \ldots . .$ ली जा सकती हैं।

    प्रश्न 5: $\frac{41}{2^{3} \times 5^{2}}$ का दशमलव प्रसार …… दशमलव स्थानों के बाद समाप्त होता है।
    उत्तर. 3

    प्रश्न 6: $\sqrt{2}$ का दशमलव प्रसार $\ldots \ldots . .$ है।
    उत्तर. असांत अनावर्ती

    प्रश्न 7: $\frac{101}{250}$ का दशमलव प्रसार 0.0404 है।
    उत्तर. असत्य

    प्रश्न 8. वह न्यूनतम प्राकृत संख्या जिससे 1200 को गुणा करने पर प्राप्त संख्या का वर्गमूल एक परिमेय प्राप्त होता है, 3 है।
    उत्तर. सत्य

    प्रश्न 9 . $ 3.\overline{1 3 4}$ एक परिमेय संख्या है।
    उत्तर. सत्य

    प्रश्न 10. संख्या 13.123456789 पर विचार कीजिए। क्या यह संख्या परिमेय है या अपरिमेय है। यदि परिमेय है, तो इसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिए।

    उत्तर. चूँकि प्रदत्त संख्या का दशमलव प्रसार सांत है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।
    अब,
    \[
    \begin{aligned}
    13.123456789\\
    =\frac{13123456789}{1000000000}\\=\frac{13123456789}{10^{9}} \\
    =\frac{13123456789}{(2 \times 5)^{9}}\\=\frac{13123456789}{2^{9} 5^{9}}\\
    \end{aligned}
    \]
    यहाँ, $p=13.123456789, q=2^{9} 5^{9}$ जो $2^{n} 5^{m}$ के रूप का है। जहाँ $n=9, m=9$

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