Grade 10 – Math – Polynomials- Important Questions and Answers

    Geometric Meaning of the Zeroes of a Polynomial

    प्रश्न 1: सिद्ध कीजए कि 2 और 3 बहुपद $x^{2}-5 x+6$ के शून्यक हैं।

    उत्तर: माना $p(x)=x^{2}-5 x+6$
    हम पाते हैं
    \[
    p(2)=(2)^{2}-5(2)+6=0
    \]
    तथा $\quad p(3)=(3)^{2}-5(3)+6=0$
    अत: 2,3 बहुपद $x^{2}-5 x+6$ के शून्यक हैं।

    प्रश्न 2: यदि द्विघात बहुपद $(k-1) x^{2}+k x+1$ का एक शून्यक 13 है, तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

    उत्तर: $\quad$ माना $\quad p(x)=(k-1) x^{2}+k x+1$
    यदि $p(x)$ का एक शून्यक 13 है, तो
    \[
    \begin{array}{l}
    p(13)=0\\
    \Rightarrow (k-1) 169+13 k+1=0 \\
    \Rightarrow 169 k-169+13 k+1=0\\
    \Rightarrow 182 k-168=0\\
    \Rightarrow 13 k-12=0\\
    \Rightarrow \quad 13 k \Rightarrow \quad 12 \Rightarrow k=\frac{12}{13}
    \end{array}
    \]

    प्रश्न 3. द्विघात बहुपद $x^{2}+9 x+4$ के दोनों शून्यक $\ldots \ldots .$ है।
    उत्तर: ऋणात्मक

    प्रश्न 4: यदि द्विघात बहुपद $a x^{2}+b x+c, c \neq 0$ के दोनों शून्यक बराबर हैं, तो a और $c \ldots \ldots$ चिहों के होंगे।
    उत्तर: समान

    प्रश्न 5: यदि द्विघात बहुपद $k x^{2}+x+k$ के दोनों शून्यक समान हैं, तो $k$ का मान होगा।
    उतर: $\quad \pm \frac{1}{2}$

    प्रश्न 6: $p(x)=x^{2}-3 x+2$ का $x=1$ पर मान $\ldots \ldots \ldots .$ है।
    उत्तर: 0

    प्रश्न 7: $\sqrt{2} x^{3}$ एक त्रिघात बहुपद है।
    उत्तर: सत्य

    प्रश्न 8: बहुपद् $x^{4}+1$ की घात 4 है।
    उत्तर: सत्य

    प्रश्न 9: यदि बहुपद $a x^{2}+b x+c$ का ग्राफ $y$ -अक्ष की धनात्मक दिशा को काटता है, तो $c$ का चिह्न ऋरणात्मक होगा।
    उत्तर: असत्य

    प्रश्न 10: यदि $(x+1), x^{2}-3 a x+3 a-7$ का एक गुणनखंड है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए?

    उत्तर: $\quad$ माना $p(x)=x^{2}-3 a x+3 a-7$
    यदि $x+1, p(x)$ का एक गुणनखंड है, तो $-1, p(x)$ का एक शून्यक है।
    $x+1=0 \Rightarrow x=-1$
    $\therefore p(-1)=0$
    $\Rightarrow \quad(-1)^{2}-3 a(-1)+3 a-7=0$
    $\Rightarrow \quad 1+3 a+3 a-7=0$
    $\Rightarrow \quad 6 a-6=0 \Rightarrow 6 a=6$
    $\Rightarrow \quad a=1$

    Relation between Zeroes and Co-efficient of a Polynomial

    प्रश्न 1: यदि $\alpha$ और $\beta$ द्विधात बहुपद $f(x)=2 x^{2}-7 x+5$ के शून्यक है , तो
    (a) $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$
    (b) $\alpha^{2}+\beta^{2}$
    का मान ज्ञात कीजिए।
    उत्तर:
    $f(x)=2 x^{2}-7 x+5$
    $a x^{2}+b x+c$ से तुलना करने पर
    \[
    \begin{array}{l}
    a =2 \\
    b =-7 \\
    c =5 \\
    \alpha+\beta =-\frac{b}{a}=\frac{-(-7)}{2}=\frac{7}{2} \\
    \alpha \beta =\frac{c}{a}=\frac{5}{2}
    \end{array}
    \]
    (a) \[
    \begin{aligned}\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=\frac{\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}}=\frac{7}{5}\end{aligned}
    \]
    (b) \[
    \begin{aligned} &\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2 \alpha \beta\\
    &=\left(\frac{7}{2}\right)^{2}-2\left(\frac{5}{2}\right)\\
    &=\frac{49}{4}-5\\
    &=\frac{49-20}{4}=\frac{29}{4}\end{aligned}
    \]

    प्रश्न 2. एक द्विधात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों को योग और गुणनफल क्रमश: -5 और -14 है। अत: शून्यकों को मान कीजिए।

    उत्तर: शून्यकों का योग $=-5$
    शून्यकों का गुणनफल = – 14
    $\therefore \quad$ द्विधात बहुपद है
    {$kx^{2}-($ शून्यकों का योग $) x+$ शून्यकों का गुणनफल }
    जहाँ, $k(\neq 0)$ वास्तविक है।
    {$kx^{2}-(-5) x+(-14) $}
    $\Rightarrow \quad k\left(x^{2}+5 x-14\right)$
    शून्यकों के लिये,
    \[
    \begin{array}{l}
    &k\left(x^{2}+5 x-14)=0\right.\\
    & x^{2}+5 x-14=0 \\
    &\Rightarrow x+7 x-2 x-14=0 \\
    &\Rightarrow x(x+7)-2(x+7)=0 \\
    &\Rightarrow (x+7)(x-2)=0 \\
    &\Rightarrow x+7=0 \\
    &and, x-2=0\\
    &\Rightarrow x=-7 \\
    &x=2\\
    &\Rightarrow \quad x=-7,2\\
    \end{array}
    \]
    अत : शून्यक -7 और 2 हैं।

    प्रश्न 3: द्विधात बहुपद $5+3 x^{2}+7 x$ के शून्यकों का योग और गुणनफल ज्ञात कीजिए।

    उत्तर. प्रदत्त द्विधात बहुपद् है
    \[
    \begin{array}{r}
    5+3 x^{2}+7 x \\
    =3 x^{2}+7 x+5
    \end{array}
    \]
    $a x^{2}+b x+c$ से तुलना करने पर,
    \[
    \begin{array}{l}
    a=3\\
    b=7 \\
    c=5
    \end{array}
    \]
    $\therefore$ शून्यकों का योग $=-\frac{b}{a}=-\frac{7}{3}$
    शून्यकों का गुणफल $=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$

    प्रश्न 4: यदि $-1,$ बहुपद $x^{2}-6 x-7$ का एक शून्यक है तो दूसरा शून्यक $\ldots \ldots . .$ है।
    उत्तर. 7

    प्रश्न 5: यदि $\alpha, \beta$ बहुपद $x^{2}-16$ के शून्यक है, तो $\alpha \beta(\alpha+\beta)$ का मान $\ldots . . .$ है।
    उत्तर. 0

    प्रश्न 6 : यदि $a, b$ बहुपद $2 x^{2}+x+4$ के शून्यक है, तो $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$ का मान $\frac{1}{4}$ हैं । सत्य / असत्य ?
    उत्तर. असत्य

    प्रश्न 7. बहुपद $x^{2}$ के शुन्यक 0,0 हैं । सत्य / असत्य ?
    उत्तर. सत्य

    प्रश्न 8: यदि बहुपद $6 x^{2}-4 x+2 a$ के शून्यक $\alpha$ और $\frac{1}{\alpha}$ हैं, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।
    हल प्रद्त बहुपद है :
    \[
    6 x^{2}-4 x+2 a
    \]
    $A x^{2}+B x+C$ से तुलना करने पर
    \[
    \begin{array}{l}
    A=6 \\
    B=-4 \\
    C=2 a
    \end{array}
    \]
    श्रून्यकों का गुणनफंल $=(\alpha)\left(\frac{1}{\alpha}\right)=1$ $\Rightarrow \quad \frac{C}{A}=1$
    $\Rightarrow \quad \frac{2 a}{6}=1$
    $\Rightarrow \quad 2 a=6$
    $\Rightarrow \quad a=3$

    प्रश्न 9: यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $4 x^{2}+x+4$ के शून्यक है , तो वह द्विघात बहुपद बनाइए जिसके शून्यक $\frac{1}{2 \alpha}$ और $\frac{1}{2 \beta}$ हों।

    उत्तर. माना $ p(x)=4 x^{2}+x+4$
    $a^{2} x+b x+c$ से तुलना करने पर
    \[
    \begin{aligned}
    a &=4, b=1, c=4 \\
    \therefore \quad \alpha+\beta &=-\frac{b}{a}=\frac{-1}{4} \hspace{2cm}\ldots (i)\\
    \alpha \beta &=\frac{c}{a}=\frac{4}{4}=1\hspace{2cm}\ldots (ii)
    \end{aligned}
    \]
    अब , शून्यकों का योग
    \[
    \begin{array}{l}
    =\frac{1}{2 \alpha}+\frac{1}{2 \beta} \\
    =\frac{\alpha+\beta}{2 \alpha \beta}=\frac{-\frac{1}{4}}{2(1)}=-\frac{1}{8}\hspace{2cm}\ldots (iii)
    \end{array}
    \]
    $(i)$ व $(i i)$ से शून्यकों को गुणनफल
    \[
    \begin{array}{l}
    =\left(\frac{1}{2 \alpha}\right)\left(\frac{1}{2 \beta}\right) \\
    =\frac{1}{4 \alpha \beta}=\frac{1}{4(1)}=\frac{1}{4} \hspace{2cm}\ldots (iv)
    \end{array}
    \]
    (i) से (i i) अतः अभीष्ट द्विघात बहुपद है $k${ $x^{2}-($ मूलो को योग $) x+$ मूलों का गुणनफल }, जहाँ $k \neq$ 0 वास्तकिक है
    \[
    =k \left\{ x^{2}-(-\frac{1}{8}) x+\frac{1}{4} \right\}
    \]
    जहाँ $k(\pm 0)$ वास्तविक है। (iii) व $(i v)$ से
    \[
    =k(x^{2}+\frac{1}{8} x+\frac{1}{4})\\
    =\frac{k}{8}(8x^2+x+2)
    \]

    प्रश्न 10: $k$ का मान ज्ञात कीजिए यदि -2 बहुपद $x^{2}-x-(2 k+2)$ का एक शून्यक है।

    उत्तर. यदि -2 बहुपद $x^{2}-x-(2 k+2)$ का एक शून्यक है, तब
    \[
    \begin{array}{l}
    (-2)^{2}-(-2)-(2 k+2)=0 \\
    \Rightarrow 4+2-2 k-2=0 \\
    \Rightarrow 4-2 k=0 \\
    \Rightarrow 2 k=4 \\
    \Rightarrow k=2
    \end{array}
    \]

    Division Algorithm for Polynomials

    प्रश्न 1: विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके जाँच कीजिए कि क्या बहुपद् $x^{2}-10 x+16,$ बहुपद $5 x^{3}-70 x^{2}+153 x-320$ का एक गुणनखंड है?

    उत्तर:


    $\therefore \quad$ शेषफ़ल $=-127 x(\neq 0)$
    $\therefore \quad$ बहुपद $x^{2}-10 x+16,$ बहुपद $5 x^{3}-70 x^{2}+153 x-$ 320 का एक गुणनखंड नहीं है।

    प्रश्न 2: $b$ का मान ज्ञात कीजिए यदि बहुपद $2 x^{3}-9 x^{2}+2 x+b, 2 x$ +3 के द्वारा पूर्णतया विभाज्य है।

    उत्तर:

    $\therefore \quad$ शेषफ़ल $=b-30$
    पूर्णतया विभाज्य होने के लिए, शेषफ़ल = $0$
    \[
    \begin{array}{l}
    \Rightarrow & b-30=0 \
    \Rightarrow & b=30
    \end{array}
    \]

    प्रश्न 3: बहुपद $2 x^{3}+4 x^{2}+5 x+7$ को बहुपद् $x^{2}+2 x+5$ से भाग देने पर शेषफल $7-5 x$ प्राप्त होता है। भागफल को ज्ञात कीजिए।

    उत्तर:
    \[
    \begin{aligned}
    &p(x)=g(x) \times q(x)+r(x)\\
    &\Rightarrow 2 x^{3}+4 x^{2}+5 x+7=g(x) \times\left(x^{2}+2 x+5\right)+(7-5 x) \\
    &\Rightarrow \quad 2 x^{3}+4 x^{2}+10 x=g(x) \times\left(x^{2}+2 x+5\right) \\
    &\Rightarrow \quad g(x)=\frac{2 x^{3}+4 x^{2}+10 x}{x^{2}+2 x+5} \\
    &\Rightarrow \quad g(x)=\frac{2 x\left(x^{2}+2 x+5\right)}{x^{2}+2 x+5}\\
    &\Rightarrow \quad g(x)=2 x
    \end{aligned}
    \]
    अत : भागफल $2 x$ है।

    प्रश्न 4: $p(x)=x^{3}-x^{2}-2 x+2$ को $q(x)=x^{2}-2$ से भाग दीजिए और ज्ञात कीजिए कि $q(x), p(x)$ का एक गुणनखंड है अथवा नहीं।

    उत्तर:


    $\therefore $ शेषफ़ल =0
    $\therefore \quad q(x), p(x)$ का एक गुणनखंड है।

    प्रश्न 5: बहुपद $x^{4}+6 x^{3}-5 x^{2}+5 x-7$ को $x-1$ से भाग देने पर प्राप्त शेषफल है$\ldots$……।
    उत्तर. $\quad-3$

    प्रश्न 6: किसी त्रिघात बहुपद को रेखिक बहुपद् से भाग देने पर प्राप्त भागफल $\ldots$…… बहुपद होता है।
    उत्तर. द्विघात

    प्रश्न 7: $x^{6}-2 x^{3}+x+1$ को $x$ में पाँच घात वाले बुहपद् से भाग देने पर भागफल $x^{2}+1$ हो सकता है। सत्य / असत्य ?
    उत्तर. असत्य

    प्रश्न 8:यदि एक बहुपद $x^{3}-3 x^{2}+2$ के दो शून्यक 1 और $1+$ $\sqrt{3}$ हैं तो तीसरा शून्यक $1-\sqrt{3}$ होगा। सत्य / असत्य ?
    उत्तर. सत्य

    प्रश्न 9: बहुपद $3 x^{4}+4 x^{3}+6 x^{2}-4$ से -100 जोड़ने पर यह $x-2$ से पूर्णतया विभाज्य हो जाता है। सत्य / असत्य ?
    उत्तर. सत्य

    प्रश्न 10. बहुपद् $x^{4}-17 x^{2}+36 x-20$ के सभी शून्यकों को ज्ञात कीजिए यदि इसके दो शून्यक 2 और -5 हैं।

    उत्तर. माना $p(x)=x^{4}-17 x^{2}+36 x-20$
    चूंकि $p(x)$ के दो शून्यक 2 और -5 हैं, इसलिए $(x-2){x-(-5)},$
    अर्थात् $(x-2)$ $(x+5),$
    अथांत् $x^{2}+3 x-10, p(x)$ का एक गुणनखंड होगा।

    $\therefore p(x) = (x^2+3x-10)(x^2-3x+2)$

    अन्य दो शून्यकों के लिए
    \[
    \begin{aligned}
    & x^{2}-3 x+2=0 \\
    &\Rightarrow x^{2}-x-2 x+2=0 \\
    &\Rightarrow x(x-1)-2(x-1)=0 \\
    &\Rightarrow (x-1)(x-2)=0 \\
    &\Rightarrow x-1=0 \quad \text { and } \quad x-2=0 \\
    &\Rightarrow x=1 \text { and } x=2 \\
    &\Rightarrow x=1,2
    \end{aligned}
    \]
    अतः प्रदत्त बहुपद् के सभी शून्यक 2,-5,1 और 2 हैं।


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