Number System

संख्या रेखा (Number Line)

एक संख्या रेखा (number line ) संख्याओं का एक ग्राफिक प्रतिनिधित्व है। यह एक सीधी रेखा है जिसमें सभी वास्तविक संख्याएं (real numbers- R ) होती हैं । यदि a और b 2 संख्याएँ हैं और a, b के दाईं ओर है, तो a, b से अधिक है (a> b) और b, a से कम है (b <a)

विभिन्न प्रकार की वास्तविक संख्याएँ हैं। कुछ महत्वपूर्ण प्रकार हैं:

  • प्राकृतिक संख्याएं (Natural Numbers)
  • पूर्ण संख्या (Whole Numbers)
  • पूर्णांक (Integers)
  • परिमेय संख्या (Rational Numbers)
  • अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers)

प्राकृतिक संख्याएं (Natural Numbers)

प्राकृतिक संख्याएं (Natural Numbers) वे संख्याएं होती हैं जो हम अधिकतर प्रकृति में पाते हैं और गिनती के उद्देश्य के लिए उपयोग करते हैं। इसलिए, यदि हम अपने परिवेश को देखते हैं और पेड़ों, फलों, पुस्तकों, पृष्ठों आदि की गिनती करते हैं, तो यह हमेशा 1 से शुरू होगा और 2,3,4 के रूप में अनंत तक जाएगा। इसीलिए इसे Natural Numbers कहा जाता है। हम प्राकृतिक संख्या के सभी संग्रह को N के द्वारा चिह्नित करते हैं।

N = {1,2,3,4,5,6 …… }

पूर्ण संख्या (Whole Numbers)

हमारी संख्या प्रणाली में शून्य एक विशेष संख्या है। लेकिन गिनती के उद्देश्य के लिए, हम आम तौर पर 0 से गिनती शुरू नहीं करते हैं, यही कारण है कि हम इसे प्राकृतिक संख्याओं के संग्रह में नहीं डालते हैं। जब हम प्राकृतिक संख्या के संग्रह में 0 जोड़ते हैं तो हम नए संग्रह को संपूर्ण संख्याएँ (whole numbers) कहते हैं। हम इसे W द्वारा चिह्नित करते हैं।

W = {0,1,2,3,4,5,6…….}

पूर्णांक (Integers)

पूर्णांक (Integers) सभी संपूर्ण संख्याएँ का संग्रह है और प्राकृतिक नंबरों का नकारात्मक (negative) समकक्ष है। उदाहरण के लिए, -1 नकारात्मक है 1 के लिए, -2 नकारात्मक है 2 के लिए और इसी तरह। सकारात्मक काउंटर भागों को सकारात्मक पूर्णांक (positive integers) कहा जाता है और नकारात्मक समकक्षों को नकारात्मक पूर्णांक ((negative integers) कहा जाता है। कभीकभी, प्राकृतिक संख्याओं को सकारात्मक पूर्णांक भी कहा जाता है। हम पूर्णांक संग्रह को Z द्वारा चिह्नित करते हैं।

अंकन Z जर्मन शब्द Zahl के पहले अक्षर से आया है, जिसका अर्थ संख्या है।

Integers = [negative integers + 0 + positive integers ]

Z = { … – 3, – 2 , – 1 ,0, 1 , 2, 3 ….. }

परिमेय संख्या (Rational Numbers) और असहभाज्य संख्या (co-prime)

एक परिमेय संख्या (Rational Numbers) एक संख्या है जिसे अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है। इसका मतलब है कि इसे एक अंश के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें दोनों अंश (शीर्ष पर संख्या – numerator) और भाजक (तल पर संख्या – denominator) पूर्णांक होते हैं।

औपचारिक रूप से इसे परिभाषित किया गया है,

A number ‘r’ is called a rational number, if it can be written in the form  where p and q are integers and q ≠ 0.

के बारे में दूसरा भाग सही होना चाहिए क्योंकि हम किसी संख्या को 0 से विभाजित नहीं कर सकते हैं।

उदाहरण :

 1/5 जहां p=1 , q=5

5/3 जहां p=5 , q=3

5 जहां p=5, q=1

-5 जहां p=-5,q=1

एक rational number को विभिन्न अनुपातों द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1/2 का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

1/2 , 2/4 , 3/6 , ……. , 15/30 , …..

इन संख्याओं को समतुल्य परिमेय संख्याएँ (equivalent rational numbers) कहा जाता है। इसलिए, जब हम एक परिमेय संख्या को परिभाषित करते हैं तो हम मान लेते हैं कि p और q ,1 को छोड़कर किसी भी सामान्य कारक को साझा नहीं करते हैं।

15/30 के मामले में, p = 15 और q = 30 के बीच का सामान्य कारक 3 और 5 है ,क्योंकि 15 और 30 दोनों को 3 और 5 से विभाजित किया जा सकता है। यदि हम 17/30 का उदाहरण लेते हैं तो 17 और 30 का कोई सामान्य कारक नहीं है,1 को छोड़कर । हम इस जोड़ी को असहभाज्य संख्या (co-prime) कहते हैं।

एक सही परिमेय संख्या p / q के लिए , p और q कोप्राइम होना चाहिए। यदि आप उपरोक्त सूची देखते हैं, तो आपको इसका कारण मिलेगा। सभी संख्याओं (1/2, 2/4, 3/6) आधा का प्रतिनिधित्व करता है। 4 सेब के एक बॉक्स से 2 सेब या 2 सेब के एक बॉक्स से 1 सेब या 30 सेब के एक बॉक्स से 15 सेब लेने का अर्थ वही है, बॉक्स का आधा हिस्सा लें। 1/2 उसी का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त है।

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