Number System

Irrational Number (अपरिमेय संख्या)

एक अपरिमेय संख्या वास्तविक संख्या है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात (ratio) के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। जब एक अपरिमेय संख्या एक दशमलव बिंदु (decimal point) के साथ लिखी जाती है, तो दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ बिना किसी दोहराए गए पैटर्न के साथ अनंत रूप से जारी रहती हैं।

Pi या π (3.14159 …) संख्या एक अपरिमेय संख्या का एक सामान्य उदाहरण है क्योंकि इसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की अनंत संख्या होती है।

कई वर्गमूल(square roots) भी अपरिमेय होती हैं क्योंकि उन्हें अंशों (fractions) में नहीं घटाया जा सकता। उदाहरण के लिए,   1.414 के करीब है, लेकिन दशमलव बिंदु के अनंत रूप से जारी रहने के बाद अंकों के बाद से सटीक मान अनिश्चित है: 1.414213562373095 … यह मान अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, इसलिए 2 का वर्गमूल अपरिमेय है।

  • उदाहरण: ,√2, √3, √5, ,√11, ,√21, π (Pi) सभी अपरिमेय हैं।

औपचारिक रूप से,

An irrational number is a number that cannot be expressed as a fraction  for any integers   and . 

एक वास्तविक संख्या एक निरंतर मात्रा का एक मूल्य है जो एक रेखा के साथ दूरी का प्रतिनिधित्व कर सकती है (या वैकल्पिक रूप से, एक मात्रा जिसे अनंत दशमलव विस्तार के रूप में दर्शाया जा सकता है)। वास्तविक संख्या में सभी परिमेय संख्या संख्याएं शामिल हैं, जैसे पूर्णांक संख्या 5, और अंश 4/3, और सभी अपरिमेय संख्याएँ, जैसे कि 1.42 (1.41421356 …, 2 का वर्गमूल, एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या)। दूरी को मापने के अलावा, वास्तविक संख्याओं का उपयोग मात्राओं को मापने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि समय, द्रव्यमान, ऊर्जा, वेग, और बहुत कुछ। वास्तविक संख्याओं के समूह को प्रतीक  का उपयोग करके दर्शाया गया है।

संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व

विषय पर जाने से पहले, पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) की एक सरल अवधारणा को समझें, जिसमें कहा गया है:

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग त्रिभुज के अन्य दो पक्षों के वर्गों के योग के बराबर होता है.

यदि एक समकोण त्रिभुज ABC में,AB, BC और AC क्रमशः त्रिभुज के लंब, आधार और कर्ण के रूप में हैं, AB = x unit और BC = y unit  के साथ ,फिर, त्रिभुज का कर्ण, AC,  के बराबर होता है ।

Represent √2 on the number line.

Step 1: एक संख्या रेखा खींचें और केंद्र बिंदु को शून्य के रूप में चिह्नित करें।

Step 2: शून्य के दाईं ओर (1) और बाईं ओर (-1) के रूप में चिह्नित करें।

Step 3: हम अपने उद्देश्य के लिए (-1) पर विचार नहीं करेंगे।

 

Step 4: 0 और 1 के बीच की लंबाई के साथ, बिंदु (1) के लिए लंबवत एक रेखा खींचें, जैसे कि नई पंक्ति की लंबाई 1 इकाई है।

Step 5: अब बिंदु (0) और एकता की लंबाई की नई लाइन के अंत में शामिल हों।

Step 6: एक समकोण त्रिभुज का निर्माण किया जाता है।

Step 7: अब हम त्रिभुज को ABC नाम देते हैं जैसे AB ऊँचाई (लंबवत), BC त्रिभुज का आधार है और AC समकोण त्रिभुज ABC का कर्ण है।

Step 9: अब AC के साथ त्रिज्या (radius) और C के रूप में केंद्र एक ही संख्या रेखा पर एक चाप (arc) काटते हैं और बिंदु को D के रूप में नाम देते हैं।

Step 10: चूँकि AC चाप का त्रिज्या है और इसलिए, CD चाप की त्रिज्या भी होगी जिसकी लंबाई  है।

Step 11: इसलिए, D संख्या रेखा पर   का प्रतिनिधित्व है।

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