Pair of Linear Equations in Two Variables
प्रश्न 1. दो व्यक्तियों की मासिक आय का अनुपात 9 : 7 है तथा उनके मासिक खर्चा का अनुपात 7: 5 है। यदि उनमें से प्रत्येक ₹ 8000 प्रति माह बचाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय स्तिप में व्यक्त कीजिए।
उत्तर. माना दो व्यक्तियों की मासिक आय क्रमश: ₹ 9x और ₹ $7 x$ है तथा उनके मासिक खर्च क्रमशः ₹ $7 y$ और ₹ $5 y$ हैं। तब प्रश्न की प्रथम शर्त के अनुसार,
\[
9 x-7 y=8000\hspace{2cm}\ldots(i)
\]
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,
\[
7 x-5 y=8000\hspace{2cm}\ldots(ii)
\]
समीकरण ( $i$ ) और समीकरण ( $i i)$ मिलकर प्राप्त स्थिति को बीजगणितीय रूप में व्यक्त करती हैं।
प्रश्न 2. A और B दो परीक्षा कक्ष है। यदि 20 विद्यार्था B से A में भेज दिए जाते हैं, तो A में विद्यार्थियों की संख्या B में विद्यार्थियों की संख्या की दुगुनी हो जाती है। यदि 10 विद्यार्थी A से $B$ में भेज दिए जाते है, तो $B$ में विद्यार्थियों की संख्या A में विद्यार्थियों की संख्या की दुगुनी हो जाती है। इस स्थिति को बीजगणितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
उत्तर : माना परीक्षा कक्ष A और B में विद्यार्थियों की संख्या क्रमश :
$x$ और $y$ है। तब प्रश्न की प्रथम शर्त के अनुसार,
$x+20=2(y-20)$
$\Rightarrow \quad x+20=2 y-40$
$\Rightarrow \quad x-2 y+60=0 \hspace{2cm}\ldots(i)$
प्रश्न की द्वितीय शर्त के अनुसार,
$2(x-10)=y+10$
$\Rightarrow \quad 2 x-20=y+10$
$\Rightarrow \quad 2 x-y-30=0\hspace{2cm}\ldots(ii)$
समीकरण ( $i$ ) और समीकरण ( $i i$ ) मिलकर प्रद्त स्थिति को बीजगणितीय रूप में व्यकत करती हैं।
प्रश्न 3. रेलगाड़ी A का पथ समीकरण $2 x+y-4=0$ के द्वारा किया जाता है और एक दूसरी रेलगाड़ी B का पथ समीकरण $4 x+$ $2 y-12=0$ के द्वारा दिया जाता है। इस स्थिति को ज्यामितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
उत्तर : $\quad \mathrm{A}$ का पथ है
\[
2 x+y-4=0
\]
$\mathrm{B}$ का पथ है
\[
4 x+2 y-12=0
\]
समीकरण (i) के लिए,
\[
\begin{array}{cc}
2 x+y-4=0 \\
\Rightarrow y=4-2 x
\end{array}
\]
हलों की सारणी \begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & 2 & 0 \\
\hline y & 0 & 4 \\
\hline
\end{array}
हम बिंदुओं $\mathrm{A}(2,0)$ और $\mathrm{B}(0,4)$ को एक ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं। तब, रेखा $\mathrm{AB}$ समीकरण ( $i$ ) के आलेख को निरूपित करती है।
समीकरण ( $i i)$ के लिए
\begin{array}
4 x+2 y-12=0\\
\Rightarrow \quad 2 y=12-4 x\\
\Rightarrow \quad y=\frac{12-4 x}{2}\\
\Rightarrow \quad y=6-2 x
\end{array}
हलों की सारणी
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & 3 & 0 \\
\hline y & 0 & 6 \\
\hline
\end{array} हम बिंदुओं $\mathrm{C}(3,0)$ और $\mathrm{D}(0,6)$ को उसी ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं। तब, रेखा CD समीकरण ( $i i)$ के आलेख को निरूपित करती है।
ग्राफ पेपर से हम पाते हैं रेखाएँ AB और CD समान्तर हैं।
प्रश्न 4. यदि हम स्टेशन A से स्टेशन B की दो टिकट तथा स्टेशन A से स्टेशन C की तीन टिकट खरीदतें हैं तो हमें ₹ 800 चुकाने पड़ते हैं। परन्तु यदि हम स्टेशन A से स्टेशन B की 3 टिकट तथा स्टेशन A से स्टेशन C की 4 टिकट खंरीदते हैं तो हमें ₹ 1100 चुकाने पड़ते हैं। इस स्थिति को बीजगणितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
उत्तर. माना स्टेशन A से स्टेशन B तक का किराया ₹ x है तथा स्टशेन A से स्टेशन C तक का किराया ₹ $y$ है। तब प्रश्न की प्रथम शर्त के अनुसार
\[
2 x+3 y=800 \hspace{2cm}\ldots (i)
\]
प्रश्न की दूसरी शर्त के अनुसार,
\[
3 x+4 y=1100 \hspace{2cm}\ldots (ii)
\]
समीकरण ( $i$ ) और समीकरण ( $i i)$ मिलकर प्रदत स्थिति को बीजगणितीय रूप में व्यक्त करती हैं।
प्रश्न 5: $x$ -अक्ष और $y$ -अक्ष का प्रतिच्छेद् बिंदु ……………..कहलाता है।
उत्तर: मूल विंदु
प्रश्न 6. यदि रेखा $x+y=a$ बिन्दु (1,2) से गुजरती है तो $a$ का मान…………. है।
उत्तर: 3
प्रश्न 7: बिंदु (-1, -1) ………… चतुर्थाश से स्थित है।
उत्तरः तृतीय
प्रश्न 8: दो प्रत्याशियों के द्वारा प्राप्त वाटों का अंतर 100 है। इस स्थिति को $x+y=100$ के द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। सत्य / असत्य ?
उत्तर: असत्य
प्रश्न 9: एक विद्यालय के कक्षा 10 के दो सेक्शनों के छात्रों की संख्या से 10 अधिक है। इस स्थिति को $x-y=10$ द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। सत्य / असत्य ?
उत्तर: सत्य
प्रश्न 10. यदि हम एक भिन्न के अंश में से 1 घटा दें, तो भिन्न $\frac{1}{2}$ के समान हो जाती है। यदि हम भिन्न के हर में 7 जोड़ दें तो भिन्न $\frac{1}{3}$ के समान हो जाती है। इस स्थिति को ज्यामितीय रूप में व्यक्त कीजिए।
उत्तर: माना भिन्न का अंश $x$ तथा हर $y$ है। तब, भिन्न = $\frac{x}{y}$
प्रश्न की शर्तों के अनुसार,
\[
\frac{x-1}{y}=\frac{1}{2}
\]
$\Rightarrow \quad 2(x-1)=y$
$\Rightarrow \quad 2 x-2=y$
$\Rightarrow \quad 2 x-y=2 \hspace{2cm}\ldots (i)$
तथा $\quad \frac{x}{y+7}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow \quad 3 x=y+7$
$\Rightarrow \quad 3 x-y=7 \hspace{2cm}\ldots (ii)$
समीकरण ( $i$ ) के लिए,
$2 x-y=2$
$\Rightarrow \quad y=2 x-2$
हलों की सारणी
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & 2 & 3 \\
\hline y & 2 & 4 \\
\hline
\end{array}
हम बिंदुओं $\mathrm{A}(2,2)$ व $\mathrm{B}(3,4)$ को एक ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं। तब, रेखा AB समीकरण (i) के आलेख को निरूपित करती है।
समीकरण (ii) के लिए.,
$3 x-y=7$
$\Rightarrow \quad y=3 x-7$
हलों की सारणी
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & 3 & 4 \\
\hline y & 2 & 5 \\
\hline
\end{array}
हम बिंदुओं $\mathrm{C}(3,2)$ व $\mathrm{D}(4,5)$ को उसी ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं। तब, रेखा CD समीकरण (ii) के आलेख को निरूपित करती है।
ग्राफ पेपर से हम पाते है कि रेखाएँ $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{CD}$ बिंदु $\mathrm{P}(5,8)$ पर प्रतिच्चेंद्र करती हैं।
Graphical Method Solution of a Pair of Linear Equation
प्रश्न 1 : समीकरण युग्म
\begin{array}
3 x+2 y=5\\
2 x+3 y=7
\end{array}
के द्वारा निरूपित रेखाएँ …………..करती हैं।
उत्तर: प्रतिच्छेद
प्रश्न 2: रेखा $\frac{4}{3} x+2 y=8, y-$ अक्ष को बिंदु …… पर काटती है।
उत्तर: $\quad(0,4)$
प्रश्न 3: रेखा युग्म $2 x+y+6=0,4 x-2 y+4=0$ संगत है। सत्य / असत्य ?
उत्तर: सत्य
प्रश्न 4: रेखा युग्म $\quad 3 x+2 y=8$ , $6 x-4 y=9$ के द्वारा निरूपित रेखाएँ समान्तर हैं। सत्य / असत्य ?
उत्तर: असत्य
प्रश्न 5: एक रैखिक समीकरण $5 x-3 y=11$ दिया हुआ है। इन चरों में एक अन्य रैखिक समीकरण निर्मित कीजिए जिससे कि इस प्रकार निर्मित युग्म का ज्यामितीय निरूपण
(i) प्रतिच्छेदी रेखाएँ हो।
(ii) संपाती रेखाएँ हो।
(iii) समान्तर रेखाएँ हो।
उत्तर. प्रदत्त रैखिक समीकरण है :
\[
5 x-3 y=11
\]
(i) एक अन्य रैखिक समीकरण है :
\[
3 x-5 y=11
\]
हम देखते हैं कि,
\[
\begin{aligned}
&\frac{5}{3} \neq \frac{-3}{-5}
\Rightarrow \quad \frac{5}{3} \neq \frac{3}{5}
\end{aligned}
\]
(ii) एक अन्य रैंखिक समीकरण है :
\[
10 x-6 y=22
\]
हम देखते हैं कि,
\[
\frac{5}{10}=\frac{-3}{-6}=\frac{11}{22}
\]
(iii) एक अन्य रैखिक समीकरण है :
\[
10 x-6 y=33
\]
हम देखते हैं कि
\[
\frac{5}{10}=\frac{-3}{-6} \neq \frac{11}{33}
\]
प्रश्न 6. $k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए रैखिक समीकरण युग्म $2 x+3 y+7=0$ और $4 x+k y+14=0$ के निरूपित रेखाएँ संपाती हैं।
उत्तर. प्रदत्त रैखिक समीकरण युग्म है :
\[
\begin{aligned}
&2 x+3 y+7=0 \\
&4 x+k y+14=0 \\\\
&\text { Here, } a_{1}=2, b_{1}=3, c_{1}=7 \\
&a_{2}=4, b_{2}=k, c_{2}=14
\end{aligned}
\]
संपाती होने के लिए
\[
\begin{aligned}
&\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\\
&\Rightarrow \quad \frac{2}{4}=\frac{3}{k}=\frac{7}{14}\\
&\Rightarrow \quad \frac{1}{2}=\frac{3}{k}=\frac{1}{2}\\
&\Rightarrow \quad \frac{1}{2}=\frac{3}{k}\\
&\Rightarrow \quad k=6
\end{aligned}
\]
प्रश्न 7. जाँच कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरण युग्म
\[
\begin{array}{ll}
x-3 y=5 \
\text { और } \quad 2 x-6 y=8
\end{array}
\]
संगत है या अंसगत।
उत्तर. प्रदत्त रैखिक समीकरण युग्म है :
\[
\begin{aligned}
&x-3 y =5 \\
&2 x-6 y =8 \\
&x-3 y-5 =0 \\
&2 x-6 y-8 =0 \\
&\text { Here, } \quad a_{1}=1, b_{1}=-3, c_{1}=-5 \\
&a_{2}=2, b_{2}= 6, c_{2}=-8 \\
&\frac{a_{1}}{a_{2}} =\frac{1}{2} \\
&\frac{b_{1}}{b_{2}} =\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2} \\
&\frac{c_{1}}{c_{2}} =\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8}
\end{aligned}
\]
हम पाते हैं
\[
\Rightarrow \quad \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}
\]
अत : प्रद्त्त रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ समान्तर है।
अत : प्रद्त्त रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।
अतः प्रद्त्त रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।
प्रश्न 8: जाँच कीजिए कि निम्न रंखिक समीकरण निकाय को निरूपित करने वाली रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद् करती है, समान्तर हैं या संपाती हैं:
\[
\begin{aligned}
&\frac{2}{3} x+\frac{3}{5} y=7 \\
&\frac{2}{3} x-\frac{3}{2} y=6
\end{aligned}
\]
उत्तर : प्रदत्त रैंखिक समीकरण निकाय है
\[
\begin{aligned}
&\frac{2}{3} x+\frac{3}{5} y=7 \\
&\frac{2}{3} x-\frac{3}{2} y=6 \\
&\frac{2}{3} x+\frac{3}{5} y-7=0 \\
&\frac{2}{3} x-\frac{3}{2} y-6=0
\end{aligned}
\]
यहाँ ,
\[
\begin{aligned}
\quad a_{1}=\frac{2}{3}, b_{1}=\frac{3}{5}, c_{1}=-7\\
a_{2}=\frac{2}{3}, b_{2}=-\frac{3}{2}, c_{2}=-6
\end{aligned}
\]
\[
\therefore \quad \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{2 / 3}{2 / 3}=1
\]
\[
\begin{aligned}
&\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{3 / 5}{-3 / 2}=-\frac{2}{5} \\
&\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{-7}{-6}=\frac{7}{6}
\end{aligned}
\]
हम पाते है कि \[\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\]
अतः निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
प्रश्न 9 : ग्राफीय विधि से उस त्रिभुज के शीर्षों को ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं के समीकरण $2 x-y=8, 5 y-x=14$ और $x+y=4$ हैं
उत्तर : प्रद्त समीकरण हैं
\[
\begin{aligned}
2 x-y &=8 \hspace{2cm}\ldots(i)\\
5 y-x &=14 \hspace{2cm}\ldots(ii)\\
x+y &=4 \hspace{2cm}\ldots(iii)
\end{aligned}
\]
समीकरण (i) के लिए.
\[
\begin{aligned}
2 x-y =8 \\
\Rightarrow y=2 x-8
\end{aligned}
\]
हलों की सारणी \begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & 4 & 5 \\
\hline y & 0 & 2 \\
\hline
\end{array}
हम बिंदुओं $\mathrm{A}(4,0)$ और $\mathrm{B}(5,2)$ को एक ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं तथा इन बिंदुओं को एक पैमाने के द्वारा मिला देता है। इस प्रकार प्राप्त रेखा AB ही समीकरण (i) के आलेख को निरूपित करती है।
समीकरण (ii) के लिए.
\[
\begin{aligned}
& 5 y-x=14 \\
&\Rightarrow 5 y=x+14 \\
&\Rightarrow y=\frac{x+14}{5}
\end{aligned}
\]
हलों की सारणी \begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & 6 & 1 \\
\hline y & 4 & 3 \\
\hline
\end{array}
हम बिंदुओं $\mathrm{C}(6,4)$ और $\mathrm{D}(1,3)$ को उसी ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं तथा इन बिंदुओं को एक पैमाने के द्वारा मिला देते हैं। इस प्रकार प्राप्त रेखा CD ही समीकरण (ii) के आलेख को निरूपित करती है।
समीकरण (iii) के लिए
$x+y=4$ $\Rightarrow y=4-x$
हलों की सारणी
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline x & 0 & 4 \\
\hline y & 4 & 0 \\
\hline
\end{array}
हम बिंदुओं $\mathrm{E}(0,4)$ और $\mathrm{F}(4,0)$ को उसी ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं तथा एक पैमाने के द्वारा मिला देते हैं। इस प्रकार प्राप्त रेखा EF समीकरण (iii) के आलेख को निरूपित करती है।
ग्राफ पेपर से हम देखते है की हमे त्रिभुज ACD प्राप्त होता है जिसके शीर्ष A,C और D के निर्देशांक क्रमशः (4, 0), (6, 4) और (1, 3) है।
Algebric Methods of Solving a Pair of Linear Equation
प्रश्न 1: हल कीजिए : \[\begin{aligned} & 2 x-y=11\\ & 5 x+4 y=1 \end{aligned} \]
उत्तर : \[\begin{aligned}
& 2 x-y=11 \hspace{2cm}\ldots(i)\\
& 5 x+4 y=1 \hspace{2cm}\ldots(ii)
\end{aligned} \]
समीकरण (i) से,
\[
y=2 x-11 \hspace{2cm}\ldots(iii)
\]
$y$ का यह मान (ii) में रखने पर
\[\begin{aligned}
&\Rightarrow 5 x+4(2 x-11)=1\\
&\Rightarrow \quad 5 x+8 x-44=1\\
&\Rightarrow \quad 13 x-44=1\\
&\Rightarrow \quad 13 x=1+44=45\\
&\Rightarrow \quad x=\frac{45}{13}\\
\end{aligned}\]
$x$ का यह मान ( i ) में रखने पर,
\[\begin{aligned}
&2\left(\frac{45}{13}\right)-y=11\\
&\Rightarrow \quad \frac{90}{13}-y=11\\
&\Rightarrow \quad y=\frac{90}{13}-11=\frac{90-143}{13}=-\frac{53}{13}\\
\end{aligned}\]
अतः $x=\frac{45}{13}$ तथा $y=-\frac{53}{13}$ अभीष्ट हल है
प्रश्न 2. एक दो अंकीय संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि इस संख्या का 12 गुना अंकों, का क्रम बदलने पर प्राप्त संख्या का 10 गुना है, तो वह संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर. माना दो अंकीय संख्या का इकाई का अंक $x$ तथा दहाई का अंक $y$ है। तब
संख्या $=10 y+x$ प्रश्न की प्रथम शर्त के अनुसार,
\[
x+y=9 \hspace{2cm}\ldots(i)
\]
अंकों का क्रम बदलने पर प्राप्त संख्या $=10 x+y$ प्रश्न की द्वितीय शर्त के अनुसार,
\[
\begin{aligned}
& 12(10 y+x)=10(10 x+y) \\
&\Rightarrow \quad 120 y+12 x=100 x+10 y\\
&\Rightarrow \quad 88 x-110 y=0\\
&\Rightarrow \quad 4 x-5 y=0 \quad \hspace{2cm}\ldots(ii)
\end{aligned}
\]
समीकरण (i) से
\[
y=9-x \hspace{2cm}\ldots(iii)
\]
$y$ का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर
\[
\begin{aligned}
&4 x-5(9-x)=0\\
&\Rightarrow \quad 4 x-45+5 x=0\\
&\Rightarrow \quad 9 x-45=0\\
&\Rightarrow \quad 9 x=45\\
&\Rightarrow \quad x=\frac{45}{9}=5\\
\end{aligned}
\]
$x$ का यह मान समीकरण ( iii ) में रखने पर
\[
y=9-5=4
\]
अतः अभीष्ट संख्या 45 है।
प्रश्न 3: हल कीजिए-
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{2} x-\sqrt{3} y=0 \\
\sqrt{3} x-\sqrt{5} y=0
\end{array}
\]
उत्तर. प्रदत्त समीकरण हैं,
\[
\sqrt{2} x-\sqrt{3} y=0 \hspace{2cm}\ldots(i)
\]
\[
\sqrt{3} x-\sqrt{5} y=0 \hspace{2cm}\ldots(ii)
\]
समीकरण (i) में $\sqrt{3}$ से और समीकरण $(i i)$ में $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,
\[
\begin{aligned}
\sqrt{6} x-3 y &=0 \hspace{2cm}\ldots(iii) \\
\sqrt{6} x-\sqrt{10} y &=0 \hspace{2cm}\ldots(iv)
\end{aligned}
\]
समीकरण (iii) में से समीकरण (iv) को घटाने पर,
\[
(\sqrt{10}-3) y=0
\]
\[
y=0 \quad[\because \sqrt{10}-3 \neq 0]
\]
समीकरण
(i) में $y=0$ रखने पर,
\[
\begin{aligned}
\sqrt{2} x &=0 & \\
x &=0 & &[\because \sqrt{2} \neq 0]
\end{aligned}
\]
अत : अभीष्ट हल $x=0, y=0$ है।
प्रश्न 4. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को वज्र-गुणन विधि से हल कीजिए।
\[
\begin{array}{c}
x+y=a-b \\
a x-b y=a^{2}+b^{2}
\end{array}
\]
उत्तर : प्रद्त रैखिक समीकरण युग्म हैं,
\[
\begin{array}{l}
x+y =a-b \\
a x-b y =a^{2}+b^{2} \\
x+y-(a-b) =0 \\
a x-b y-\left(a^{2}+b^{2}\right) =0 \\\
\end{array}
\]
तब
\[
\begin{aligned}
&\Rightarrow \frac{x}{-(a^{2}+b^{2})-(-b){\{-(a-b)\}}}\\
&=\frac{y}{-(a-b) a-\{-(a^{2}+b^{2})\}} \\
&=\frac{1}{-b-a} \\
&\Rightarrow \frac{x}{-a^{2}-b^{2}-a b+b^{2}} \\
&=\frac{1}{-a^{2}+a b+a^{2}+b^{2}} \\
&=\frac{1}{-(a+b)} \\
&\Rightarrow \quad \frac{x}{-a(a+b)}=\frac{y}{b(a+b)}=\frac{1}{-(a+b)}\\
&\Rightarrow x =\frac{-a(a+b)}{-(a+b)}=a \\
&\Rightarrow y =\frac{b(a+b)}{-(a+b)}=-b
\end{aligned}
\]
अतः $ x=a, y=-b $ अभीष्ट हल हैं।
प्रश्न 5. यद् हम दो संख्याओं में से बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करे तो भागफल 2 तथा शेषफल 8 प्राप्त होता है। यदि छोटी संख्या का 7 गुना बड़ी संख्या से विभाजित किया जाए तो भागफल 2 तथा शेषफल 17 प्राप्त होता है। दोनों संख्याओं को ज्ञात कीजिए।
उत्तर : माना बड़ी संख्या $x$ तथा छोटी संख्या $y$ है। हम जानते हैं कि भाज्य = भाजक $\times$ भागफल + शेषफल
प्रश्नानुसार,
\[\begin{aligned}
&x = 2y + 8 …(i)\\
&7y = 2x + 17 …(ii)\\
&⇒ x – 2y – 8= 0\\
&2x – 7y + 17 = 0\\
\end{aligned}\]
\begin{aligned}
&\frac{x}{(-2)(17)-(-7)(-8)} =\frac{y}{(-8)(2)-(17)(1)} \\
&=\frac{1}{(1)(-7)-(2)(-2)} \\
&\Rightarrow \quad \frac{x}{-34-56} =\frac{y}{-16-17}=\frac{1}{-7+4}\\
&\Rightarrow \quad \frac{x}{-90}=\frac{y}{-33}=\frac{1}{-3} \\
&\Rightarrow x=30, y=11
\end{aligned}
अतः अभीष्ट संख्याएँ 30 और 11 हैं।
प्रश्न 6. स्थान A और B एक दूसरे संख्या 120 किमी॰ दूरी पर हैं। एक कार A से चलना प्रारंभ करती है और दूसरी कार उसी समय B से चलना प्रारंभ करती है। यदि कारे एक ही दिशा में पृथक-पृथक चालों से चलती हैं, तो वे 4 घंटे में मिलती हैं। यदि वे एक दूसरे की और चलती हैं, तो वे 1 घंटे में मिलती हैं। दोनों कारों की चालें क्या हैं।
उत्तर. माना $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ से चलने वाली कारों की चाल क्रमश :
$x$ किमी /घंटा और $y$ किमी/घंटा हैं।
स्थिति-I : जब वे एक ही दिशा में चलती हैं
माना वे P पर मिलती हैं।
A से चलने वाली कार द्वारा 4 छंटे में चली गई दूरी $=\mathrm{AP}$ $=4 x$ किमी $\because $ दूरी = चाल X समय
B से चलने वाली कार द्वारा 4 घंटे में चली गई दूरी $=\mathrm{BP}=4 y$ किमी $\because $ दूरी = चाल X समय
प्रश्नानुसार,
\[
\mathrm{AP}-\mathrm{BP}=120
\Rightarrow \quad 4 x-4 y=120
\]
4 से भाग देने पर
\[
\Rightarrow x-y=30 \hspace{2cm}\ldots(i)
\]
स्थिति-II: जब वे दूसरे की ओर चलती हैं
माना वे Q पर मिलती हैं।
A से चलने वाली कार द्वारा 1 घंटे में चली गई दूरी = AQ = x किमी
B से चलने वाली कार द्वारा 1 घंटे में चली गई दूरी = BP = y किमी
प्रश्नानुसार, $\quad \mathrm{AQ}+\mathrm{BQ}=120$
\[
\mathrm{AQ}+\mathrm{BQ}=120
\Rightarrow \quad x+y=120 \hspace{2cm}\ldots(ii)
\]
समीकरण (i) और समीकरण (ii) को जोड़ने पर,
$2 x=150$
$\Rightarrow x=\frac{150}{2}=75 $
$x$ का यह मान समीकरण (ii) में रखने पर,
\[
\begin{aligned}
75 x+y =120 \\
\Rightarrow y=120-75=45
\end{aligned}
\]
अतः दोनों कारों की चालें क्रमश: 75 किमी/घंटा तथा 45 किमी/घंटा हैं।
प्रश्न 7. यदि $\frac{x}{-7}=\frac{y}{-14}=\frac{1}{21}$ तो $x$ का मान है।
उत्तर: $\quad-\frac{1}{3}$
प्रश्न 8. रैखिक समीकरण निकाय
\[
\begin{aligned}
\frac{x}{a} &=\frac{y}{b} \\
a x-b y &=a^{2}-b^{2}
\end{aligned}
\]
का हल है।
उत्तर: $\quad x=a, y=b$
प्रश्न 9: यदि $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2 \quad$ तथा $a x-b y=a^{2}-b^{2}$ तो $x, y$ के मान क्रमश : $\ldots \ldots \ldots \ldots .$ है।
उत्तर: $\quad a, b$
प्रश्न 10: यदि $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=a+b \quad$ तथा $\quad \frac{x}{a^{2}}+\frac{y}{b^{2}}=2$ तो इनका अभीष्ट हल $x=\ldots \ldots \ldots \ldots ., y=$
है।
उत्तर: $\quad a^{2}, b^{2}$